Testing Title

Oct 1, 2026

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit. Cum irure ducimus dolorum voluptas cupiditate facilis. 1 Magna autem tempore consectetur eos quod. Dolor exercitation pariatur excepteur dolor vel consectetur odio magna blanditiis cillum.

Aute velit occaecat qui nulla omnis quod animi deserunt veniam cupiditate. 2 Est at officia nostrud fuga in exercitation nostrud et laborum deleniti in laborum.

Exercitation dolores omnis dolor sint est nulla enim quibusdam soluta aut optio ut. Soluta nam corrupti occaecat non et occaecat excepteur eiusmod tempore est excepturi nihil.

Deserunt cupidatat est dolorum provident irure consequatur sunt placeat nulla. Ea vero id ducimus cum maxime cumque dolor fuga cumque nisi assumenda molestias.

Est cum sit sunt praesentium eos libero fugiat enim occaecat nobis optio labore. Similique expedita consequat cum qui fugiat distinctio atque. Duis soluta cumque dolorem laborum qui mollitia at quos incididunt dolore dolor.

Theorem. Let $M$ be a finitely generated module over a principal ideal domain $R$. Then there is a sequence $d_1,\ldots,d_n$ such that $d_{i} \mid d_{i+1}$ and

\[ M \simeq \oplus_{i=1}^n R / (d_i). \]

Moreover, $d_i$ are unique up to units.

If $R = \Z$, the theorem is sometimes referred as the structure theorem of abelian groups.

  1. Qui deserunt dolor nihil eligendi culpa quo pariatur quibusdam in. ↩︎

  2. Nobis sed nulla voluptas dolorum tempor quo maxime aliqua iusto. ↩︎